Tenhle článek možná nepotěší naše školou povinné čtenáře – školní rok už skoro končí, prázdniny klepou na dveře a najednou tu je článek, jehož náplní bude matematika a výpočty. Ale neskládejte zbraně – kosmonautika je jako každá jiná přírodní věda postavená na pevných základech matematiky a kdo chce do jejích tajů proniknout hlouběji, ten se jejím výpočtovým zákoutím nevyhne. Na druhou stranu chápeme, že ne každý má na matematiku buňky a proto se budeme snažit, aby byly všechny výpočty důkladně vysvětlené. Tento článek je totiž součástí našeho nepravidelného seriálu „Pro začátečníky„, který se srozumitelnou formou snaží vysvětlit základy kosmonautiky. Pokud tedy chcete vědět, jak se počítá rychlost spalin, které upouští trysku raketového motoru, nebo co označuje zkratka TWR, čtěte dál.

Jedním z mimořádně důležitých faktorů, které ovlivňují výkonnost rakety je poměr tahu vůči váze. Občas můžete narazit také na zkratku TWR, což vychází z anglického výrazu thrust-to-weight ratio. Tato hodnota vychází z druhého Newtonova zákonu, kterému se také někdy přezdívá zákon síly.

Jestliže na těleso působí síla, pak se těleso pohybuje se zrychlením, které je přímo úměrné působící síle a nepřímo úměrné hmotnosti tělesa.

Co to ale znamená pro nás? V definici zákona se mluví o síle, která na těleso působí – v našem případě jde o tah generovaný raketovým motorem. Tady ale narážíme na první komplikaci – tah raketového motoru závisí na tlaku okolního vzduchu – proto někdy můžete u raketových motorů najít dvě hodnoty – tah na hladině moře a tah ve vakuu. Druhá hodnota je vždy vyšší, protože částice opouštějící trysku nemusí bojovat s tlakem okolního vzduchu. Tlak vzduchu se ale s výškou mění a proto budou výsledky lehce ovlivněné touto chybou. Pojďme teď na reálný příklad. První stupeň evropské rakety Vega se jmenuje P80. Na něm jsou umístěné ještě další stupně, ale abychom naše příklady v tomto článku zjednodušili, zkusme si představit, že bychom na startovní rampu postavili čistě jenom motor P80.

Jeho tah (F) na úrovni moře je 2 261 kN. Jeho hmotnost (M) je 95,695 tuny. Jelikož je kilonewton tisíc newtonů a tuna je tisíc kilogramů, nemusíme si lámat hlavu s převody jednotek a můžeme rovnou vypočítat zrychlení (A). Stačí jen sílu vydělit hmotností. V našem případě tedy 2261 / 95,965 = 23,56. Jednotkou je samozřejmě m/s². Čím vyšší je hmotnost, nebo naopak čím menší je tah, tím menšího výsledku pochopitelně dosáhneme. Analogicky můžeme říct, že při vyšším tahu a menší hmotnosti dosáhneme většího zrychlení, což je logické.

Abychom ale mohli vypočítat TWR, musíme vzít do úvahy ještě jeden faktor – gravitaci. Berme její průměrnou hodnotu 9,8 m/s² jako náš základ. Vydělíme tedy vypočítanou hodnotu zrychlení tímto číslem a dostaneme se na hodnotu 2,59 – právě tohle je hledaná hodnota TWR.

Nyní když známe poměr tahu vůči váze, můžeme se podívat na další důležitý faktor – Δv [delta vé], který označuje změnu rychlosti – v našem případě budeme počítat, jakou celkovou změnu rychlosti dokáže motor udělit – čili jak moc dokáže zrychlit. Předešlý výpočet nám ukázal, že motor P80 má zrychlení 23,56 m/s². Znamená to, že po první sekundě letu bude mít rychlost 23,56 m/s? Z tabulek vyčteme, že stupeň P80 hoří po dobu 106,8 sekund. Má to tedy znamenat, že (opět pokud ignorujeme tření o atmosféru), že by stupeň měl po dohoření rychlost 2516,2 m/s? Že by stačilo vynásobit akceleraci časem hoření a měli bychom výslednou rychlost? Nikoliv. Tak snadné to není.

Při letu totiž raketa spaluje palivo a tím pádem klesá její hmotnost. A jak jsme si řekli už na minulých řádcích – čím je raketa lehčí, tím větší má akceleraci. Tah totiž zůstává stejný, ale hmotnost klesá. Tím se dostáváme k základní rovnici kosmonautiky. Rovnici, která nese jméno ruského učence Konstantina Ciolkovského (viz jeho životopis na našem webu). Ciolkovského rovnice umožňuje vypočítat, jaké rychlosti raketa dosáhne.

Co ale znamenají jednotlivé veličiny? Nalevo od znaku „rovná se“ máme Δv, což je hodnota, kterou již známe z našich minulých článků a kterou chceme vypočítat – jaká bude celková změna rychlosti za dobu hoření rakety. Hodnota v_e je trochu specifická a budeme se jí muset věnovat podrobněji na dalších řádcích – udává totiž výtokovou rychlost plynů z trysky motoru. Další je symbol logaritmu a dostáváme se ke zlomku. Čitatelem je m₀, což značí hmotnost rakety před zážehem.Jmenovatel je vyjádřen jako m₁, což je hmotnost rakety po zážehu, v našem případě tedy po vypálení všeho paliva.

Jak ale vypočítáme rychlost vypouštěných plynů? Představme si startující raketu, jako systém, který se zbavuje části své hmotnosti. V tabulkách můžeme najít, že motor P80 pojme 88 365 kg paliva. Abychom celý proces zjednodušili, budeme ignorovat, že se rychlost spalování může měnit a budeme ji považovat za konstantní. Jelikož P80 hoří 106,8 sekund, pak za jednu sekundu spálí 827,39 kg paliva. Známe i tah rakety, tedy v našem případě 2261 kN. Aby se to dobře počítalo, můžeme převést kilogramy na tuny, nebo kilonewtony na newtony. My zvolíme první možnost a převedeme množství spáleného paliva za sekundu na 0,82739 tuny. Abychom vypočítali rychlost vyvržených plynů, vydělíme tah motoru hmotností spáleného paliva za sekundu – v našem případě tedy 2261 / 0,82739 = 2732 m/s. Spaliny tedy opouští trysku motoru P80 rychlostí téměř 3 kilometry za sekundu! Nyní můžeme všechny hodnoty dosadit do vzorce.

Po vypočítání dosáhneme výsledku 7019 m/s. Tato hodnota nám ukazuje, že pokud by naše planeta neměla atmosféru, pak by první stupeň rakety Vega dosáhl téměř orbitální rychlosti. V reálném světě tu samozřejmě máme atmosféru, která svým třením vše komplikuje a navíc chceme, aby raketa dopravila na oběžnou dráhu nějaký náklad. Proto potřebujeme další raketové stupně, které se zažehnou, až v P80 dojde všechno palivo.

Na závěr si dáme ještě jeden výpočet. A nebudeme troškařit – dáme si rovnou první stupeň americké rakety Saturn V, která umožnila pilotované cesty k Měsíci. Nejprve si vypíšeme všechny hodnoty, které budeme pro výpočet potřebovat.

Tah motoru F-1 na hladině moře = 6833 kN
Hmotnost plného stupně = 2 282 tun

Začneme tedy počítat a v prvním pokusu schválně uděláme chybu. Z těchto hodnot bychom vypočítali zrychlení – 2,99 m/s². Poměr tahu vůči hmotnosti tedy vychází na 0,31. To ale na první pohled nedává smysl. Vždyť pokud má nosič TWR menší než 1, nemůže se zcela logicky odlepit od rampy. Kde jsme tedy udělali chybu? V zadání je tah jednoho motoru F-1 – první stupeň rakety Saturn V jich ale měl pět. Tím pádem je tah celého prvního stupně 5 x 6833, tedy 34 165 kN. Teď už nám rovnice bude dávat větší smysl – zrychlení vychází na 14,97 m/s². Poměr tahu vůči hmotnosti nám potom ukáže 1,52. TWR je vyšší než 1 a raketa má dostatečný výkon na to, aby se odlepila od země. Povšimněte si ale že, zatímco u P80 nám TWR vyšel na 2,59, u prvního stupně Saturnu V je hodnota jen 1,52. To je matematické vyjádření toho, co můžeme vidět na záznamech startu rakety Saturn V – tento nosič se kvůli své masivní váze odlepoval od rampy jen velmi, velmi nerad a pomalu. Nezapomínejme na to, že my počítáme TWR pouze pro první stupeň, ale v reálu, měl tento nad sebou ještě další stupně! Abychom mohli ve výpočtu pokračovat, musíme si uvést další údaje.

Hmotnost pohonných hmot= 2 148,6 tun
Prázdná hmotnost = 133,4 tun
Doba hoření = 161 sekund

Jak jsme si již řekli, první stupeň Saturnu V měl 5 motorů. Na každý tak připadalo 429,72 tuny paliva. Pokud tuto hodnotu vydělíme dobou hoření, dostaneme se na spotřebu paliva 2,67 tuny pohonných hmot / sekundu na jeden motor! Celková spotřeba všech pěti motorů byla 13,35 tuny pohonných hmot / sekundu. Pokud vydělíme tah prvního stupně (34 165 kN) spotřebou paliva ze sekundu (13,35 tuny), dostaneme se k výsledku 2559 m/s. A nyní už nezbývá nic jiného, než dosadit všechny hodnoty do vzorce celkového Δv.

Výsledek je 7266 m/s. Jak je vidět, tak pokud by Země neměla atmosféru, tak by se na oběžnou dráhu nedostal ani samotný první stupeň gigantické rakety Saturn V. Skutečnost je samozřejmě komplikována nejen atmosférou, ale i dalšími stupni, které měl první stupeň nad sebou. Kdo by měl zájem, ten si může všechny hodnoty vypočítat i pro celou raketu.

P.S. Číselné hodnoty pro raketu Vega jsem čerpal z jejího oficiálního prezentačního dokumentu, hodnoty pro Saturn V jsem vyčetl v databázi SPACE 40.

Zdroje informací:
https://www.youtube.com/
https://cs.wikipedia.org/
http://wiki.kerbalspaceprogram.com/
http://www.arianespace.com/
http://www.lib.cas.cz/

Zdroje obrázků:
http://wiki.kerbalspaceprogram.com/…/300px-Gravity_turn_start.svg.png
https://farm1.staticflickr.com/358/18883064478_39b38bae1f_b.jpg
https://upload.wikimedia.org/…engine_being_transferred_to_the_test_stand.jpg
https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/7/7e/Ap10-KSC-68C-7912.jpg