Po kratší přestávce opět přichází další díl našeho nepravidelného seriálu, který se snaží přehledným způsobem ukázat, že výpočty v kosmonautice nemusí být nepochopitelné a že je možné do nich proniknout docela snadno. Matematika je pro mnoho žáků a studentů nepříjemný předmět, proto se náš seriál snaží všechny potřebné údaje vysvětlit srozumitelně, aby obsahu porozuměli i ti, kdo si s čísly obvykle moc netykají. Dnes se zaměříme na změnu sklonu oběžné dráhy.

V minulém díle našeho seriálu jsme se naučili počítat změnu rychlosti, tzv. Δv při přechodu z jedné oběžné dráhy na druhou. Jako příklad nám sloužil přesun telekomunikační družice z parkovací oběžné dráhy ve výšce 300 km na dráhu geostacionární. To byla ale pouze hypotetická hodnota, která počítala se startem z rovníku. V reálném světě jsou ale kosmodromy umístěné mimo rovník a družice, které chtějí na geostacionární dráhu, musí vlastními motory snížit sklon oběžné dráhy na nulu.

Pokud se ještě vrátíme k našemu příkladu z minulého dílu, tak jsme zjistili, že pro přechod z jedné kruhové dráhy na druhou potřebujeme dva zážehy. První byl na kruhové oběžné dráze s rychlostí vk1 (kruhová rychlost 1), kdy jsme vytvořili protáhlou eliptickou oběžnou dráhu a družice měla v periapsidě rychlost vep (rychlost na elipse v periapsidě). Stačilo od vep odečíst vk1 a získali jsme Δv1, tedy změnu rychlosti pro první zážeh. V apoapsidě měla družice rychlost vea (rychlost na elipse v apoapsidě) a musela zažehnout svůj motor, aby dosáhla rychlosti vk2 (kruhová rychlost 2). Opět jsme pak od vk2 odečetli vea, čím jsme získali Δv2, tedy změnu rychlosti při druhém zážehu. Nyní už stačilo jen sečíst Δv1 s Δv2 no a výsledkem bylo celkové Δv pro manévr. V dnešním případě ale budeme kromě toho ještě měnit sklon oběžné dráhy. Jak naznačuje zjednodušený diagram, postup bude v zásadě podobný.

Jelikož známe velikost úhlu α mezi odvěsnou vea a přeponou vk2, potřebujeme vypočítat protilehlou odvěsnu, použijeme goniometrickou funkci kosinus. V minulém díle jsme si vypočítali, že vea je 1610 m/s a vk2 je 3079 m/s. Dejme tomu, že satelit bude na naši misi startovat z mysu Canaveral, který leží na 28° rovnoběžce. Nejnižší sklon oběžné dráhy k rovníku je tedy 28°. Zkusíme tedy vypočítat, jaké Δv bude satelit potřebovat pro přechod na geostacionární dráhu. Vzorec vypadá na první pohled trochu divoce, ale ve skutečnosti se pořád jedná o odvozeninu jednodušší verze, kterou už známe.

Pokud tedy dosadíme hodnoty rychlosti, které jsme předtím vypočítali (viz minulý díl) bude vzorec vypadat takto:

Po vypočítání dojdeme k výsledku 1821 m/s. Vzpomeňte si, že pokud jsme sklon oběžné dráhy neměnili, bylo Δv pro druhý zážeh jen 1470 m/s. Pokud by družice startovala třeba z Kourou, které je pouze 5°, bylo by Δv pro druhý zážeh jen 1481 m/s! Naopak z Bajkonuru, který leží na 46° rovnoběžce by bylo na druhý zážeh potřeba 2277 m/s. Tady je jasně vidět, jak významný pro úsporu pohonných hmot je kosmodrom v blízkosti rovníku. Pro pořádek připomínám, že pro výpočet Δv v případě Kourou a Bajkonuru jsem použil stejné rychlosti, změnil se pouze úhel. Rychlosti na oběžné dráze jsou totiž shodné bez ohledu na jejich sklon k oběžné dráze.

V minulém díle jsme vypočítali, že pro první zážeh, kdy přecházíme z kruhové dráhy na eliptickou potřebujeme 2432 m/s. Pokud tuto hodnotu sečteme s výsledkem našeho výpočtu, tedy 1821 m/s, vyjde nám, že celkové Δv pro dosažení geostacionární dráhy při startu z mysu Canaveral je 4253 m/s.

Možná si říkáte, proč se sklon oběžné dráhy mění až při druhém zážehu. Nešlo by to udělat při prvním zážehu, kdy protahujeme původní parkovací dráhu do elipsy? Jistě šlo by to, ale nepoužívá se to. Proč? Na to nám odpoví jednoduchý výpočet, ve kterém zkusíme nasimulovat následující situaci. Jsme tedy na parkovací dráze ve výšce 300 km (máme rychlost 7 737 m/s), chceme vytáhnout apoapsidu do výšky 35 800 km, což by znamenalo dosáhnout rychlosti 10 169 m/s a přitom ještě změníme sklon oběžné dráhy z 28° na 0°. Vzorec by pak vypadal takto.

Po vypočítání s hrůzou zjistíme, že takový manévr by potřeboval Δv 4938 m/s! Pokud bychom pak v apoapsidě zakulatili oběžnou dráhu, na což je potřeba 1470 m/s, vyšlo by nám celkové Δv na 6402 m/s! Jak sami vidíte, je to oproti tradičně používaným 4253 m/s mnohem více. Nyní už je jasné, proč je výhodnější provádět změny sklonu dále od Země. V čím nižší rychlosti totiž manévr provedeme, tím méně náročný je.

S tím souvisí i případ, který v nedávných týdnech vzbudil velkou pozornost kosmonautické veřejnosti. Raketa Falcon9 v1.1 tehdy vynášela telekomunikační satelit na dráhu přechodnou ke geostacionární velmi neobvykle. Běžná praxe funguje následovně – raketa vynese z parkovací dráhy satelit na eliptickou dráhu s apogeem ve výšce 35 800 km a tím její práce končí. Satelit se po oddělení od horního stupně postará o změnu sklonu oběžné dráhy a zakulatí svou orbitu. SpaceX na to šla ale jinak. Její horní stupeň totiž vynesl náklad na výrazně protáhlou eliptickou dráhu s apogeem ve výšce 90 000 km. Proč? Na to nám odpoví následující výpočet.

Začneme prvním zážehem. Zatímco u tradiční metody je potřeba ze 7737 m/s zrychlit na 10169 m/s, máme tedy Δv 2432 m/s, tak u metody SpaceX muselo být celých 2847 m/s, jelikož se letělo na vzdálenější apoapsidu, zrychlovalo se na rychlost 10584 m/s. V této fázi zatím vede tradiční přístup ale pojďme dál.

Družice se oddělila od horního stupně a v apogeu vynulovala sklon a zakulatila oběžnou dráhu. Dnes jsme si vypočítali, že při tradiční metodě je k tomuto manévru potřeba 1821 m/s. Jak tomu bylo ale v případě satelitu Thaicom6? V apoapsidě ve výšce 90 000 km měl rychlost 733 m/s. Tady se pustil do změny sklonu oběžné dráhy a zakulacování oběžné dráhy. Pokud by se neměnil sklon oběžné dráhy a pouze by se vytáhla periapsida do výšky 35800 km, bylo by k tomu potřeba zrychlit na 1589 m/s, což dělá Δv 856 m/s. Jenže satelit musí udělat i změnu sklonu dráhy. Po dosažení čísel do výše vysvětleného vzorce dostaneme následující podobu:

Po vypočítání nám vyjde celkové Δv pro druhý zážeh 1002 m/s. Nyní má družíce periapsidu ve výšce geostacionární dráhy a stačí jí snížit apoapsidu. Jelikož v periapsidě letí rychlostí 3632 m/s, musí zpomalit na již známou rychlost na geostacionární dráze, tedy 3079 m/s. To dělá Δv 553 m/s. A jdeme porovnávat.

Zatímco při tradiční verzi byla změna rychlosti horního stupně 2432 m/s, u SpaceX to bylo 2847 m/s. Pro raketu SpaceX to tedy bylo náročnější. Satelit na tom ale vydělal. Tradiční model totiž požadoval od družice, aby po oddělení od rakety zakulatila oběžnou dráhu a srovnala sklon při jednom zážehu, což vyžadovalo Δv 1821 m/s. U SpaceX musel udělat satelit po oddělení od horního stupně sice zážehy dva (1002 m/s a 553 m/s), ale pokud je sečteme, zjistíme, že satelit Thaicom6 vynášený v režii SpaceX vykonal celkové Δv pouze 1555 m/s! Ve srovnání s tradičním modelem tedy ušetřil 266 m/s. A to všechno jen za cenu trochu vyššího Δv u prvního zážehu, který vytahoval parkovací dráhu na eliptickou. O ten se ale nestaral satelit, ale motor horního stupně.

Ačkoliv se na první pohled mohla zdát zvolená metodika letu komplikovaná, čísla jasně ukazují, že se jednalo o dobře promyšlený tah, který SpaceX moc nestál a zákazník na tom vydělal. Náš nepravidelný seriál tímto dílem nekončí. V dalších dílech se podíváme na další výpočty, které se týkají kosmonautiky.

P.S. Pokud se v záplavě čísel v tomto díle ztrácíte a nevíte, odkud jsem vzal čísla, která při výpočtech používám, doporučím Vám vrátit se k prvnímu a druhému dílu našeho seriálu o výpočtech, kde jsou všechny vzorce podrobně vysvětlené.

Zdroje informací:
http://www.youtube.com/
https://kosmonautix.cz/

Zdroje obrázků:
http://www.braeunig.us/space/pics/fig4-13.gif
http://www.launchphotography.com/THAICOM_6_9.jpg