Kosmonautika je krásný obor, to my všichni, kdo se o ni zajímáme, dobře víme. Jenže nalijme si čistého vína – dříve nebo později nás láska k tomuto oboru zavede do fáze, která se velmi přibližuje matematice. Není se co divit – kosmonautika je exaktní věda plná výpočtů a úplně se jim vyhnout nemůžeme. Jenže jak se v těch vzorečcích orientovat? Matematika není obor, který by milovala většina populace, sám jsem toho zářným příkladem. Přesto si ukážeme, že matematika v kosmonautice nemusí být vůbec složitá a nepochopitelná. Náš nepravidelný seriál je zaměřený především na ty, kdo si nejsou v matematice příliš jistí a proto budeme všechno vysvětlovat názorně.
V každém díle se zaměříme na jeden konkrétní příklad, na kterém si názorně ukážeme všechny důležité aspekty této problematiky. Ze všeho nejdříve se podíváme na jeden z nejzákladnějších faktorů, kolem kterých se točí celá kosmonautika – na rychlost. Už víme, že s pomocí rychlosti můžeme změnit oběžnou dráhu – a´t už hovoříme o jejím tvaru, či sklonu k rovníku. Rychlost je tedy v kosmonautice alfou a omegou.
Zdroj: http://upload.wikimedia.org/
Abychom pronikli do tajů rychlosti na oběžné dráze, musíme si nejprve osvětlit pojem Velká poloosa dráhy. V tomto článku najdete základní informace o oběžných drahách. Jak již víte, každá oběžná dráha je ve skutečnosti elipsou, na které můžeme najít dva body – apoapsidu, kdy je družice od centrálního tělesa nejdále a má vůči ní nejmenší rychlost a periapsidu, kdy je tělesu naopak nejblíže a prolétá kolem ní s nejvyšší rychlostí.
Důležité je, že těleso, kolem kterého družice krouží leží v jednom z ohnisek elipsy. Velkou poloosu dráhy vypočítáme jednoduše tak, že zprůměrujeme vzdálenost apoapsidy a periapsidy – ovšem nikoliv od povrchu planety, ale od jejího středu, tedy těžiště. Existuje i jiná pomůcka, jak si velkou poloosu zapamatovat – pokud spojíme periapsidu s apoapsidou, získáme tzv. přímku apsid. Tu rozdělíme uprostřed a získáme dvě velké poloosy. Názorněji Vám situaci popíše výše přiložený obrázek.
Nyní, když už víme, co je to velká poloosa dráhy, můžeme se pustit ke vzorci, který nám umožní vypočítat, jakou rychlost má těleso v nějakém bodě oběžné dráhy. Než ale přistoupíme k samotnému vzorci, řekneme si, co všechno rozhoduje o tom, jaká ta rychlost bude. Představíme si tedy jednotlivé atributy výpočtu.
Základním aspektem, který vše ovlivňuje je hmotnost tělesa, kolem kterého družice obíhá. Čím je těleso hmotnější, tím silnější má gravitaci. Ve vzorci, který budeme používat, se hmotnost označuje písmenem M. Dalším důležitým aspektem je výše zmíněná Velká poloosa dráhy označovaná písmenem a. Abychom zjistili, jakou má těleso rychlost v určitém bodě, musíme znát vzdálenost tohoto bodu od středu tělesa, kolem kterého satelit obíhá. Tuto vzdálenost nám udává písmeno r. No a nesníme zapomenout ani na základní sílu, o které tu už padla zmínka, tedy gravitaci. Pro ni použijeme takzvanou (Newtonovu) gravitační konstantu, která se značí G a její hodnota je 6,67×10-11 N.m2.kg-2. Výsledek, tedy rychlost, se značí písmenem V.
Zdroj: Autor
Všimněte si, že ve vzorci není započítána hmotnost družice. Ta v tomto případě nehraje roli. Jinými slovy – neznatelný úlomek kosmického smetí bude mít při zachování stejných parametrů oběžné dráhy stejnou rychlost jako několik set tun těžká ISS. Nejčastěji budeme počítat údaje pro satelity na oběžné dráze Země a proto si můžeme výpočet trochu zjednodušit – Naše planeta má hmotnost M zhruba 5,7 x 1024 kg.
Pokud tuto hodnotu vynásobíme výše zmíněnou gravitační konstantou G, pak se dostaneme k tzv. gravitačnímu parametru, ten se označuje řeckým písmenem μ [mí] s hodnotou pro Zemi skoro přesně 4 x 1014. Znamená to tedy, že μ = M x G. Pro jiné planety je samozřejmě μ jiné – gravitační konstanta G sice zůstává, ale mění se hmotnost M centrálního tělesa (planety/měsíce), kolem kterého satelit krouží.
A nyní přichází první příklad. Pro začátek si dáme něco snadného. Sice už víme, že žádná oběžná dráha není přesně kruhová, ale pro první výpočet pusťme tento limitující faktor z hlavy. Máme družici na téměř přesně kruhové oběžné dráze ve výšce 300 kilometrů nad Zemí. Jakou rychlostí obíhá?
Jelikož satelit obíhá kolem Země, tak po vynásobení M a G dostaneme μ 4 x 1014. Jak jsme si řekli, dráha je kruhová ve výšce 300 km. Jenže do vzorce nemůžeme dosadit 300 000 metrů. Musíme připočíst ještě vzdálenost od povrchu do středu Země. Jelikož má naše planeta poloměr 6 378 km, tak naše hodnota r bude 6 678 000 metrů. Dráha je kruhová, takže těleso by bylo neustále stejně daleko od středu naší planety. Tudíž by periapsida i apoapsida ležely také ve stejné vzdálenosti. Co se stane když uděláme průměr ze dvou stejných čísel je jasné – dostaneme opět stejné číslo. Takže do vzorce místo a dosadíme také 6 678 000 metrů. Náš vzorec tedy bude vypadat takto.
Zdroj: Autor
Jak jste si všimli, tento obrázek navíc ukazuje, že pokud družice obíhá po kruhové dráze, tak se obsah závorky velmi zjednoduší vzájemným odečtením. Dalším zjednodušením bychom se dostali až na velmi jednoduchý vzorec V2 = μ / a. Pokud tedy vzorec vypočítáme, vyjde nám, že V2 bude 59 898 173. Čísla se nelekejte, protože, jak jste si jistě všimli, rychlost, tedy V, je ve vzorci na druhou. Získaný výsledek tedy musíme odmocnit. Potom nám už vychází 7 739 m/s, což je definitivní výsledek. Družice na oběžné dráze Země obíhající po kruhové oběžné dráze ve výšce 300 kilometrů nad povrchem má stálou rychlost 7 739 metrů za sekundu.
Zdroj: http://apod.nasa.gov
Teď, když už známe základy, můžeme se pustit do výpočtů založených na reálných situacích. Vezměme si třeba takovou ISS. Ta v současné době obíhá kolem Země po eliptické oběžné dráze s apoapsidou ve výšce 417 kilometrů a periapsidou ve výšce 412 kilometrů. Přichází tedy druhá dnešní slovní úloha: Jakými rychlostmi se pohybuje Mezinárodní vesmírná stanice v apoapsidě a v periapsidě?
Velká poloosa této dráhy se vypočítá snadno – zprůměrujeme 417 a 412, což dělá 414,5 km. Ke všem vzdálenostem nezapomeneme přičíst poloměr Země, tedy 6 378 km. Po dosazení do vzorců získáme následující výpočet.
Zdroj: Autor
Po vydělení, odečtení, vynásobení a následném odmocnění, dojdeme ke konečným výsledkům. Mezinárodní vesmírná stanice má v apoapsidě (výška 417 km nad Zemí) rychlost 7 671 metrů za sekundu a v periapsidě (výška 412 km nad Zemí) 7 676 metrů za sekundu. Rozdíl mezi rychostmi v apoapsidě a periapsidě je tedy pouhých 5 m/s. Je to dáno tím, že její oběžná dráha není příliš protáhlá, takže má blízko k ideální kružnici.
Nyní už tedy umíte vypočítat rychlost tělesa na oběžné dráze v libovolné fázi letu. Nemusíte samozřejmě počítat pouze rychlosti v apsidách, ale i kdekoliv mezi nimi. Experimentujte s různými hodnotami, tak Vám vzorce lépe přejdou do krve. Pokud byste chtěli počítat hodnoty nikoliv pro Zemi, ale pro jiné objekty Sluneční soustavy, přidám Vám na závěr ještě jejich průměry a hmotnosti. Nezapomeňte, že jejich hmotnost M musíte vynásobit gravitační konstantou G (6,67 x 10-11).
Slunce = průměr 1 392 020 km, hmotnost 1,98 x 1030 kg
Merkur = průměr 4 879 km, hmotnost 3,302 x 1023 kg
Venuše = průměr 12 103,7 km, hmotnost 4,868 5 x 1024 kg
Měsíc = průměr 3 476,2 km, hmotnost 7,347 673 x 1022 kg
Mars = průměr 6 792,4 km, hmotnost 6,4185 x 1023 kg
Phobos = průměr 23 km, hmotnost 1,070 x 1016 kg
Deimos = průměr 12,5 km, hmotnost 2,244 x 1015 kg
Jupiter = průměr 142 984 km, hmotnost 1,899 x 1027 kg
Io = průměr 3 642 km, hmotnost 8,9319 x 1022 kg
Ganymed = průměr 5 268 km, hmotnost 1,4819 x 1023 kg
Callisto = průměr 4820 km, hmotnost 1,075938 x 1023 kg
Europa = průměr 3 138 km, hmotnost 4,7998 x 1022 kg
Saturn = průměr 120 536 km, hmotnost 5,6846×1026 kg
Enceladus = průměr 499 km, hmotnost 1,08022 x 1020 kg
Titan = průměr 5 150 km, hmotnost 1,3452 x 1023 kg
Uran = průměr 51 118 km, hmotnost 8,6810 x 1025 kg
Miranda = průměr 471 km, hmotnost 6,59 x 1019 kg
Ariel = průměr 1 158 km, hmotnost 1,353 x 1021 kg
Neptun = průměr 24 764 km, hmotnost 1,0243 x 1026 kg
Titania = průměr 1 577 km, hmotnost 3,526 x 1021 kg
Oberon = průměr 761 km, hmotnost 3,014 x 1021 kg
Pluto = průměr 2 306 km, hmotnost 1,305 x 1022 kg
Charon = průměr 1 212 km, hmotnost 1,520 x 1021 kg
Doufám, že Vám dnešní díl našeho nepravidelného seriálu alespoň trochu osvětlil, jaké jsou kosmické výpočty. V příštím díle budeme vycházet z toho, co jsme se dnes naučili. Konkrétně se zaměříme na změny oběžné dráhy, objasníme si termín delta v a jako konkrétní příklad použijeme cestu telekomunikační družice na geostacionární dráhu.
Zdroje informací:
http://cs.wikipedia.org/
https://www.youtube.com/
http://cs.wikipedia.org/
Zdroje obrázků:
https://www.eeb.ucla.edu/test/faculty/nezlin/Lecture2/Figure01.jpg
http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/4/49/Ob%C4%9B%C5%BEn%C3%A1_dr%C3%A1ha.jpg
http://apod.nasa.gov/apod/image/0912/iss_sts129_big.jpg
Na matematice se mi vždy líbilo to, jak jednoduše lze spočítat i složité věci… Líbilo se mi to, ale nikdy jsem to pořádně nepochopil, jak by mohlo potvrdit i několik matikářů 🙂
Díky za článek.
Dugi super článek. Sice Hawking v některé ze svých knížek říká, že s každým vzorečkem obsaženým v textu odpadá polovina čtenářů, ale myslím že vzhledem k názornosti by to tak tentokrát být nemuselo. Mimo to i on přiznává, že někdy se matematice vyhnout nelze aby vzápětí jeden vzoreček zařadil 🙂 .
Díky moc za pochvaly 🙂
Vyborny clanok, takychto len viacej. A matematika je na tom najkrajsia.
Autorovi samozřejmě děkuji za článek, jen tak dál, osvěta se vždycky hodí. Ale napadlo vás čtenáře, jak byste postupovali, kdybyste ten vzoreček neznali? Úlohy přece nejsou o tom vyhrabat ten správný vzoreček a umět do něj dosadit… Nestačily by náhodou běžné znalosti středoškolské fyziky a matematiky?
Dobrý večer,
pakliže byste chtěl odvodit vzoreček ze středoškolské matematiky, obecně je to, domnívám se, takto – vyjděme z kruhové dráhy a zanedbejme hmotnost družice, její hmotnost je vůči planetárnímu tělesu zcela zanedbatelná.
těleso se pohybuje po stálé dráze, musí být její přitažlivá síla stejná jako odstředivá síla. Vzhledem k nemožnosti sem psát přehledně vzroce, odkáži Vás v tomto na wiki. Odstředivá síla je závislá na rychlosti tělesa (nutno přepočítat úhlovou rychlost na okamžitou rychlost tělesa ze známé výšky). Nyní zbývá vyjádřit ze vzorce rychlost z rovnice, kde se odstředivá síla rovná síle gravitační.
Pro eliptický pohyb je situace stejná, jen se mění vzdálenost od působiště síly. Je nutné si uvědomit, že vektor rychlosti je tečnou oběžné dráhy ve směru pohybu.
Při použití vysokoškolské matematiky se nám život značně zjednoduší zavedením derivace jakožto popisu změny směru pohybu tělesa a od toho souvisejících sil.
Myslím si, že autor od tohoto odvození opustil, neboť takovéto věty by odradily od tohoto jinak výborného článku spoustu lidí – a to by byla jistě škoda.
Víte, chápu že na jednu stranu ty odvozovačky mohou leckoho odradit, na druhou stranu je to vlastně to nejzajímavější, je to objevování. Dosazení do vzorečku, který spadl z nebe je proti tomu trivialita.
Mimochodem, derivace a integrály bývaly součástí středoškolské matematiky, takže odvodit si např. vztah pro potenciální energii v závislosti na vzdálenosti od středu planety by neměl být problém.
V podstatě mi nezbývá nic jiného, než s Vámi souhlasit.
Nicméně postavím se opět za autora článku, myslím si, že je správné v tomto případě neodvozovat- jak se píše, ,,pilný čtenář“ si jistě pak najde vztah ke gravitačnímu zákonu.
Můžeme si najít vzoreček pro vztah potenciální energie, nebo rovnou z toho udělat vektorové pole, gaussovu gravitaci, lagrangian, a poté se bude chvíli vesele derivovat, což by také ,,neměl být problém“.
Tak jako tak, ať se rozhodneme pro kteroukoli možnost to vyjde velmi hezky – dá to tento vzorec(mimo jiné). Dá se na to nahlížet různě.
Kde je hranice triviality?
Při studiích jsem doučoval a zjistil, že jsou i lidé, které to nebaví. Nevidí krásu odvození. Vidí jiné krásy- a že jich v životě je. Autor si mohl dokázat na internetu jak zběhlý v matematice a fyzice je, ale autor to neudělal. Autor dal těm lidem, kteří to nevěděli a při škole to nenáviděli, kuchařku, jejíž recept vysvětlil dobře a zábavně. Je to takový malý krok k pochopení ,,jak to funguje“-zjistí například, že sonda okolo Neptunu bude obíhat velmi svižně. Ten vzoreček sice spadl z nebe, ale posloužil svému účelu.
Po malých krocích se dá dojít dosti daleko, i za obzor středoškolské látky.
Skvělá práce! A příště si povíme, jak sir Newton počítal gravitační konstantu…
http://cs.wikipedia.org/wiki/Gravita%C4%8Dn%C3%AD_konstanta
http://www.techmania.cz/edutorium/art_exponaty.php?xkat=fyzika&xser=4d656368616e696b61h&key=233
Super článok, matematika potešila 🙂 pred pár rokmi som sa s ňou nekamarátil no postupom času keď som pochopil ako všeliako sa dá matematika aplikovať tak som ju začal mať oveľa radšej. Zaujímalo by ma ale či záleži na hmotnosti telesa ak sa robí zážih na zvýšenie či zníženie obežnej dráhy. Uvediem príklad…. ak letí Progress sám po obežnej dráhe a urobí zážih na zvýšenie orbity tak mu ten zážih udelí väčšiu rýchlosť ako keby ho robil pripojený k ISS že ano?
Ano, pokud už těleso mění svou oběžnou dráhu, čili zapálí svůj motor, tak samozřejmě jeho hmotnost hraje výraznou roli. Je to stejné jako když cvrnknete do malé kuličky – odletí několik desítek centimetrů daleko. Pak stejně cvrnknete do kulečníkové koule a ta odjede jen o pár cm. Když stejně cvrnknete do vrhačské koule, tak se ani nepohne. Nebo v autě – když máte auto lehké, nemusíte tolik šlapat na plyn, ale čím víc ho naplníte, tím víc musí motor makat, aby se rozjel. Stejné je to i na oběžné dráze, tam hmotnost roli hraje, ale tomu budeme věnovat pozornost až v nějakém z dalších dílů. Prozatím se zaměřujeme na základy.
Přesně tohle to jsem viděl před několika týdny u jednoho videa od Scotta Manleye.
Správně, z jeho videa čerpám – je ostatně uvedené i ve zdrojích informací na konci článku. Mnoho lidí o jeho videu neví a navíc spousta lidí může mít problémy s angličtinou. Proto jsem se rozhodl inspirovat jeho nápadem a vytvořit z toho článek.
Jen drobnost. Hodnota Newtonovy gravitační konstanty není 6,67×10-11, ale 6,67×10-11 N.m2.kg-2. Jinak to nemůže fungovat 🙂
Díky, doplním to 🙂
Dobrý den,
domnívám se že máte v jedné větě faktickou chybu. Nemění se náhodou gravitační konstanta s hmotností tělese, a tudíž pro každou planetu je jiná nejenom hmotnost, ale i již zmíněná konstanta ?. Přiložím větu:
Pro jiné planety je samozřejmě μ jiné – gravitační konstanta G sice *zůstává*, ale mění se hmotnost M centrálního tělesa (planety/měsíce), kolem kterého satelit krouží.
Pokud to tak není, omlouvám se za otravování, možná jsem si to spletl s jinou konstanou. 🙂
Gravitační konstanta se nemění, je to konstanta.
Neměl jste na mysli gravitační zrychlení, které se mění s hmotností tělesa?
Ano, díky.
Co když tělesa ve vzdáleném vesmíru, které se nám zdají statické, ve skutečnosti rotují rychlostí světla? Potom by se mohly pohybovat i satelity na oběžné dráze tohoto tělesa rychlostí světla?
Pokud by těleso rotovalo rychlostí, která by byla jen zlomkem rychlosti světla, pak by bylo roztrháno odstředivou silou.
Co objem tělesa ve vztahu k rychlosti? Jak objemné by muselo být těleso, aby na povrchu dosáhlo rychlosti světla při rotaci 24 hodin, jakou má třeba země? Atmosféra přece rotuje současně s planetou a gravitační pole také rotuje současně s planetou. Myslím, že by těleso nemuselo mít extrémní objem, pokud by dosáhlo velkého počtu otáček?
Nad tím se můžeme zamýšlet jen teoreticky. V reálném světě by takové těleso bylo roztrháno odstředivou silou ještě dávno před dosažením takových rychlostí. Náš web se věnuje pouze reálným situacím. Podobné teoretizování se hodí spíše do jiných skupin.